Các biến ngẫu nhiên có thể được coi là tương đương theo một số nghĩa. Hai biến ngẫu nhiên có thể bằng nhau, gần như bằng nhau, trung bình bằng nhau, hoặc phân phối bằng nhau.

Định nghĩa chính xác của các khái niệm trên được cho dưới đây theo thứ tự tăng dần về độ mạnh.

Phân phối bằng nhau

Hai biến ngẫu nhiên X {\displaystyle X} và Y {\displaystyle Y} có phân phối bằng nhau nếu chúng có các hàm phân phối tích lũy giống nhau:

P ⁡ ( X ≤ x ) = P ⁡ ( Y ≤ x ) , ∀ x ∈ R . {\displaystyle \operatorname {P} (X\leq x)=\operatorname {P} (Y\leq x),\quad \forall x\in \mathbb {R} .}

Hai biến ngẫu nhiên có các hàm sinh mômen bằng nhau thì có phân phối bằng nhau.

Để có phân phối bằng nhau, các biến ngẫu nhiên không nhất thiết được định nghĩa trên cùng một không gian xác suất.

Khái niệm phân phối tương đương có quan hệ với khái niệm dưới đây về khoảng cách giữa hai phân phối xác suất,

d ( X , Y ) = sup x ∈ R | P ⁡ ( X ≤ x ) − P ⁡ ( Y ≤ x ) | , {\displaystyle d(X,Y)=\sup _{x\in \mathbb {R} }|\operatorname {P} (X\leq x)-\operatorname {P} (Y\leq x)|,}

khoảng cách này có liên quan đến thử nghiệm Kolmogorov-Smirnov.

Giá trị trung bình bằng nhau

Hai biến ngẫu nhiên X {\displaystyle X} và Y {\displaystyle Y} là bằng nhau theo trung bình thứ p {\displaystyle p} nếu mômen thứ p {\displaystyle p} của | X − Y | {\displaystyle |X-Y|} bằng 0, nghĩa là

E ⁡ ( | X − Y | p ) = 0. {\displaystyle \operatorname {E} (|X-Y|^{p})=0.}

Bằng nhau với trung bình thứ p {\displaystyle p} suy ra bằng nhau với trung bình thứ q {\displaystyle q} với mọi q < p {\displaystyle q<p} . Cũng như trong trường hợp trước, khái niệm này có liên quan đến khoảng cách theo trung bình thứ p {\displaystyle p} giữa các biến ngẫu nhiên, đó là

d p ( X , Y ) = E ⁡ ( | X − Y | p ) . {\displaystyle d_{p}(X,Y)=\operatorname {E} (|X-Y|^{p}).}

Bằng nhau hầu chắc chắn

Hai biến ngẫu nhiên X {\displaystyle X} và Y {\displaystyle Y} trên cùng một không gian xác suất ( Ω , F , P ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},{\text{P}})} gọi là bằng nhau hầu chắc chắn khi và chỉ khi xác suất chúng khác nhau là bằng 0:

P ⁡ ( X ≠ Y ) = P ⁡ ( { ω : X ( ω ) ≠ Y ( ω ) } ) = 0. {\displaystyle \operatorname {P} (X\neq Y)=\operatorname {P} (\{\omega :X(\omega )\neq Y(\omega )\})=0.}

Điều này cũng tương đương với P ⁡ ( X = Y ) = 1. {\displaystyle \operatorname {P} (X=Y)=1.}

Bằng nhau

Cuối cùng, hai biến ngẫu nhiên trên cùng một không gian xác suất ( Ω , F , P ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},{\text{P}})} gọi là bằng nhau nếu chúng bằng nhau với vai trò các hàm số trên không gian xác suất của chúng, nghĩa là,

X ( ω ) = Y ( ω ) , ∀ ω ∈ Ω . {\displaystyle X(\omega )=Y(\omega ),\quad \forall \omega \in \Omega .}